Общие сведения

Планиметрия — раздел геометрии, в котором изучают геометрические фигуры на плоскости.



Некоторые геометрические фигуры на плоскости: точка, прямая, луч, отрезок, угол, многоугольник, окружность.

Аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства.

Теоремы — утверждения, справедливость которых устанавливается путем доказательств.

Основные геометрические фигуры на плоскости

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точки обозначают прописными латинскими буквами: А, В, С, ...

Прямые обозначают строчными латинскими буквами: а, b, с, ...

Прямую еще обозначают двумя прописными буквами, которые соответствуют точкам, лежащим на ней: АВ, АС и т. д.

Аксиома прямой. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Взаимное расположение точки и прямой. Точка либо лежит на прямой (еще говорят, принадлежит прямой или прямая проходит через точку), либо не лежит на прямой.

Луч и отрезок

Луч — часть прямой, состоящая из точки, принадлежащей этой прямой и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки. Эту точку называют началом луча.

Луч обозначают строчной латинской буквой или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых указывает начало луча, а вторая — любую другую точку на луче.

Дополнительные лучи — лучи, лежащие на одной прямой и имеющие только одну общую точку.

Отрезок — часть прямой, состоящая из двух точек, принадлежащих этой прямой и всех точек прямой, лежащих между двумя данными точками, которые называются концами отрезка.

Отрезок обозначают двумя прописными латинскими буквами, которые соответствуют концам отрезка (порядок букв значения не имеет).

Угол

Угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Угол обозначают либо указанием вершины, либо указанием лучей, либо указанием вершины и двух точек на сторонах угла.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

Градус — угол, равный - L - части развернутого

180

Угла.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на две равные части.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Например: /Л и ZL2, Z2 и ZL3, Z.3 и Z.4 и Z1 - рис. 1 смежные углы (рис. 1).

Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного являются дополнительными лучами сторон другого.

Например: Z.1 и АЗ, Z2 и Z.4 - вертикальные углы (рис. 1).

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Взаимное расположение прямых. Параллельные и перпендикулярные прямые

Параллельные прямые — прямые на плоскости, не имеющие общей точки.

Параллельность прямых обозначают знаком «||». Например, а || Ь.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;

• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Перпендикулярные прямые — две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямых обозначают знаком «_L».

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к третьей, то они не пересекаются. Например, если a _L с, b _1_ с, то а || b.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Прямая с называется секущей по отношению к прямым avb, если она пересекает их в двух точках.

TOC o "1-5" h z Углы, образованные двумя прямыми и секущей:

• zL4 и Z.6, Z.3 и Z.5 — накрест лежащие углы

(рис. 2);

• ZL4 и Z5, Z3 и Z.6 — односторонние углы

(рис. 2);

• /Л и Z.5, Z2 и Z.6, Z.4 и Л8, Z.3 и Z.7 — соответственные углы (рис. 2).

Признаки параллельности прямых:

• если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 2);

• если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 2);

• если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 2).

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки.

Перпендикуляр к данной прямой — отрезок

Прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом точку их пересечения.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Свойство параллельных прямых. Все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Расстояние между параллельными прямыми —

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Треугольники

Треугольник — геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, их соединяющих. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.

Треугольник обозначают указанием его вершин, причем дополнительно часто ставится знак «Д». Например, A ABC.

Периметр треугольника — сумма длин его трех сторон.

Равные треугольники — треугольники, стороны и углы которых соответственно равны.

Признаки равенства треугольников:

• если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 3);

• если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 4);

• если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 5).

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью — основанием.

Равносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны (рис. 6);

• в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (рис. 6).

Признак равнобедренного треугольника. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Остроугольный треугольник — треугольник, все углы которого острые.

Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой.

Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним.

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, одним концом которого является вершина, а другим — точка пересечения с противоположной стороной.

Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан треугольника. Она делит медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Ортоцентр треугольника — точка пересечения высот треугольника.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника (рис. 7).

Центр описанной окружности — точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника (рис. 8).

Прямоугольные треугольники

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол (рис. 9).

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла (рис. 9).

Свойства прямоугольного треугольника:

• сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

• катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине

Рис. 9 гипотенузы;

• если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°;

• в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны;

• если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны;

• если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны;

• если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла а прямоугольного треугольника (sin а) — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла А прямоугольного треугольника (cos а) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла а прямоугольного треугольника (tg а) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Значения синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов:

Sin 30° - i ; cos 30° = & ; tg 30° = S-;

Z Z о

Sin 45” = |; cos 45° = ^ ; tg 45° = 1;

Z La

Tg 60° = л/з.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника:

• против большей стороны треугольника лежит больший угол;

• против большего угла треугольника лежит большая сторона;

• каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Например, -Д

Sin A sin В sin С

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Например, с2 = а2 + Ь2 - 2ab cos С.

Геометрия. 7—11

Подобие треугольников

Подобные треугольники — треугольники, углы которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Например: если /Л = ZAlf Z. B = АВХ, Z. C =

АВ _ ВС _ СА

В1С1

Планиметрия нулевой вектор, то IsABC 00 AAjBjCj

(рис. 10).

Признаки подобия треугольников:

• если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны;

• если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны;

-

Планиметрия нулевой векторЕсли три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Четырехугольники

Четырехугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, каждые три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно их соединяющих, отрезки не должны пересекаться. Точки называют вершинами четырехугольника, отрезки —

Сторонами. Смежные стороны четырехугольника — стороны с общей вершиной. Противоположные стороны четырехугольника — пары несмежных сторон. Противоположные вершины четырехугольника — вершины, не соединенные общей стороной.

Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 11).

Свойства параллелограмма:

• в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны;

• диагонали параллелограмма точкой пересечения де-

Рис. 11 лятся пополам.

Признаки параллелограмма:

• если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм;

• если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм;

• если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если диагонали в параллелограмме равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• все углы квадрата прямые;

• диагонали квадрата равны;

• диагонали квадрата взаимно перпендикулярны;

• диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам;

• диагонали квадрата делят углы квадрата пополам.

Трапеция — четырехуголь-

Ник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны (рис. 12).

Боковые стороны трапеции — ее непараллельные стороны.

Равнобедренная трапеция — трапеция, боковые стороны которой равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

• в равнобедренной трапеции углы при основании равны;

• в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов прямой.

Средняя линия трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

• средняя линия трапеции параллельна основаниям;

• длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований.

Многоугольники

Многоугольник — геометрическая фигура, которая составлена из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FA таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не пересекаются.

Вершины многоугольника — точки А, В, С, ...,

E, F.

Стороны многоугольника — отрезки АВ, ВС, CD,..., EF, FA.

Периметр многоугольника — сумма длин всех сторон многоугольника.

П-угольник — многоугольник с п вершинами и п сторонами.

Соседние вершины многоугольника — две вершины, которые принадлежат одной стороне.

Диагональ многоугольника — отрезок, который соединяет любые две несоседние вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от каж

Дой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис. 13).

Углы выпуклого п-уголь - ника А1А2А...Ап — углы

Сумма углов выпуклого п-угольника вычисляется по формуле (п - 2) • 180°.

Окружность

Окружность — геометрическая фигура, которая состоит из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки — центра окружности.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр окружности в 2 раза больше ее радиуса.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Точка касания — общая точка касательной и окружности.

Свойство касательной.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания (рис. 14).

Признак касательной.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной (рис. 14).

Дуга окружности — каждая из двух частей окружности, на которые окружность делится двумя точками.

Полуокружность — дуга, концы которой являются концами диаметра окружности.

Дуги окружности измеряют в градусах.

Полуокружность равна развернутому углу.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Следствия:

• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число обозначается греческой бук-

Вой тс («пи»), я = —, где С — длина окружности,

D — диаметр окружности, п = 3,14 (тт — иррациональное число).

Формулы вычисления длины окружности: С = nD = 2nR, где R — радиус окружности.

Вписанные и описанные окружности

Окружность, вписанная в многоугольник, — окружность, которая касается всех сторон многоугольника.

Окружность, описанная около многоугольника, — окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Теорема об окружности, описанной около треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Свойство описанного четырехугольника. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак описанного четырехугольника. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Свойство вписанного четырехугольника. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Признак вписанного четырехугольника. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия:

• окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах;

• центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же многоугольник.

Центр правильного многоугольника — центр вписанной и описанной окружностей.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей правильного п-угольника:

• радиус R окружности, описанной около правильного /i-угольника со стороной а, находят по

SHAPE * MERGEFORMAT

Планиметрия нулевой вектор

А

О. 180° ’

2 sin-------

Планиметрия нулевой векторФормуле R =

• радиус г окружности, вписаннои в правильный гс-угольник со стороной а, находят по фор-

Муле г

2tg180°

П

Если п = 3 (равносторонний треугольник),

TOC o "1-5" h z то R = , Г = .

3 о

Если гс = 4 (квадрат), то R = , г = |.

Если п = 6 (правильный шестиугольник), то

R = а, г =

Площадь

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

• половина произведения основания треугольника на высоту, S = ah;

• половина произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними, S = )-ab sin С;

• S = Jp(p-a){p-b){p-c), р = а+у— (фор мула Герона);

• произведение полупериметра на радиус впи санной окружности, S = рг.

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, S = dyd2 sin <р.

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам:

• произведение основания на высоту, S = ah;

• произведение смежных сторон на синус угла между ними, S = ab sin а.

Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон, S = ab.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, S = - dxd2.

Li

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму основания, S = h.

Площадь описанного п-угольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, S = ргу где р — полупериметр.

Площадь круга вычисляется по формуле

S = nR2.

Векторы

Вектор — направленный отрезок, т. е. отрезок, у которого один из концов считается началом, а другой — концом.

Обозначение вектора — две заглавные латинские буквы со стрелкой над ними, при этом первая буква указывает на начало, вторая - на конец. Также вектор обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой вверху.

Например: АВ, а.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом. На чертеже нулевой вектор изобра-

Жается точкой. Нулевой вектор обозначается символом О или повторением этой точки дважды.

Например, ММ.

Длина ненулевого вектора (абсолютная величина или модуль вектора) — длина отрезка, которым изображается данный вектор.

Длина вектора АВ обозначается АВ Длину нулевого вектора считают равной

Нулю: 101 = 0.

Коллинеарные векторы — ненулевые векторы, которые расположены или на одной прямой, или на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленные векторы — коллинеарные векторы одинакового направления. Обозначаются знаком «Т».

Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Противоположно направленные векторы —

Коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. Обозначаются знаком «П».

Равные векторы — сонаправленные векторы одинаковой длины.

Правила сложения векторов:

• правило треугольника для сложения двух векторов состоит в том, что второй вектор откладывают от конца первого и считают суммой вектор, начало которого сов-

Падает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора;

Например, а + Ъ = с (рис. 15);

• правило многоугольника для сложения нескольких векторов состоит в том, что складываемые векторы откладывают таким образом,

Чтобы каждый следующий вектор начинался от конца предыдущего. Тогда суммой всех данных векторов будет вектор, который начинается в начале первого вектора и кончается в конце последнего (рис. 16);

• правило параллелограмма для сложения двух неколлинеарных векторов состоит в том, что оба вектора откладывают от одной точки, полученную фигуру достраивают до параллелограмма, используя данные векторы как стороны параллелограмма. Искомой суммой будет вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма и имеющий началом ту же точку, что и слагаемые векторы (рис. 17).

Противоположные векторы — векторы, имеющие одинаковые длины и противоположно направленные.

Записывают так: а и - а, причем

А + (-а) = б.

Разность двух векторов — вектор, который в сумме с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор.

Например, с = а - Ъ, так как с + Ъ = а.

Теорема о разности векторов. Равенство а - Ь = а +(-£>) справедливо для любых векто-

Правила вычитания векторов:

• для того чтобы вычесть из одного вектора другой, надо к первому вектору прибавить вектор, противоположный второму;

• для того чтобы вычесть из одного вектора другой, надо из произвольной точки плоскости отложить оба вектора, затем построить вектор, который начинается в конце второго вектора (вычитаемого), а заканчивается в конце первого вектора (уменьшаемого).

Произведение ненулевого вектора на число —

Вектор, который сонаправлен с данным, если число положительное и противоположно направлен к данному вектору, если число отрицательное. Длина искомого вектора равна произведению модуля числа на длину данного вектора.

Произведение нулевого вектора на любое число — нулевой вектор. Произведение числа нуль на любой вектор —

Нулевой вектор.

Угол между векторами — угол, который образуется, если отложить оба вектора от одной точки. Сторонами искомого угла будут лучи, содержащие данные векторы.

Угол между векторами а и Ъ обозначают так: a b.

Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°.

Если векторы сонаправлены, то угол между этими векторами считается равным 0°. Если векторы противоположно направлены, то угол между ними равен 180°.

Скалярное произведение двух векторов — произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения а • Ь или а о — значит, по определению:

А Ъ = а I * Ъ | • cos (а b), если а ± b, то а Ъ =0;

Если а Ъ > 90°, то а b < 0; если а b < 90°, то а b >0;

Если а b = 0°, то а b = а • Ь |.

Скалярный квадрат вектора а — скалярное произведение а • а.

Обозначается скалярный квадрат вектора а так: а 2.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т. е. а 2 = |а |2.

Векторы на координатной плоскости

Лемма о коллинеарных векторах. Если т

И п — два коллинеарных вектора и п Ф 0, то существует такое число k, что т — kn.

Вектор с считается разложенным по векторам тип, если его можно представить в виде

С = хпг + уп. Числа хну называют коэффициентами разложения.

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. По двум неколли - неарным векторам можно разложить любой вектор, при этом коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Координатный вектор — вектор, длина которого равна единичному отрезку данной координатной прямой, а его направление совпадает с направлением этой прямой.

В прямоугольной системе координат с осями координат Ох и Оу координатные векторы обозначают как i и, причем i совпадает по направлению с осью Ox, a j —с направлением оси Оу.

Любой вектор с можно разложить по координатным векторам i и j, с = xi + у j.

Координатами вектора с в данной системе координат Называются числа, которые равны коэффициентам разложения Х И У.

Обозначение координат вектора: с(х; у).

Координаты нулевого вектора равны нулю:

0(0; 0), так как 0 = 0 • i + О ; .

Правила действий с векторами по их координатам:

• сложение векторов по координатам:

Если а (л^; ух), b (х2; у2), с = а + & » то с (хг + х2; ух + у2);

• вычитание векторов по координатам:

Если А^х^у^, b(x2;y2), с = а - Ь,

То С(хх - х2; ух - у2);

• умножение вектора на число по координатам:

Если Aix^y^, с = ka, то c(kxt; ky^.

Координаты вектора находят, вычитая из соответствующих координат его конца координаты начала вектора.

Например, А(хг; ух)у В(х2; у2):

АВ(х2 - хг; у2 - уг).

Скалярное произведение векторов в координатах — число, равное сумме двух произведений соответствующих координат векторов.

Например, а(хх; уг), Ь(х2; у2):

А b — хх ' х2 + г/j • у2.

Длина вектора выражается формулой

+ У

Планиметрия нулевой вектор

А

Планиметрия нулевой вектор= Jx

Где а (х; у).

Косинус угла между векторами выража ется формулой

Х1-Х2 + У1‘У2

Cos (т п ) =

Х1 + У1 Jx2 + y2

Где т (хг; ух), п(х2; у2).

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

Т - Я = хг • х2 + У1 ’ у2 = О, где т (дсх; ух), п(х2; у2).

Метод координат на плоскости

Простейшие задачи в координатах:

• координаты точки К(х; у) середины отрезка MN, где М(хг; уг), N(x2; у2), находят по формуле

„_Х1 + Х2 Л,_У + У2.

~~1Г' V ~2~’

• расстояние d между двумя точками А^; уг) и В(х2; у2) находят по формуле

D= J(x2-xl)2 + (y2-yl)2 .

Уравнения окружности и прямой:

• уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом г в прямоугольной системе

Координат имеет вид (х - я0)2 + {у - у0)2 = г2. Если центр окружности — точка 0(0; 0), то

Уравнение имеет вид х2 + у2 — г2;

• уравнение прямой в заданной системе координат имеет вид ах + by + с = 0, где а, Ь, с — некоторые числа.




See also: