Уравнения

Свойства, применяемые при решении уравнений:



• Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого, то получится равносильное уравнение. Например: х + 5 = 8 равносильно х = 8 - 5.

• Если левую и правую части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение. Например: 2(х - 4) = 10 равносильно х - 4 = 5.

Линейные уравнения — целые уравнения вида ах + b = 0.

Например: 2х + 3 = 5,7; 6х - 9 = х + 14,5. Решение линейных уравнений:

I

• Если а Ф 0, Ъ Ф 0, то х = -- .

• Если а Ф 0, Ъ — 0, то х — 0.

• Если а = 0, b Ф 0, то корней нет.

• Если а = 0, b — 0, то х е R.

Например: 2х + 3 = 9, 2х = 6, х = 3; Ъх + б = = Ъх - 2, 0 = -8, корней нет.

Квадратные уравнения — целые уравнения вида ах2 + Ьх + с = О, где а Ф О.

Неполные квадратные уравнения — квадратные уравнения, у которых хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.

Например: 5х2 -2 = 0; 16л:2 - 5л: = 0; 7л:2 = 0. Решение неполных квадратных уравнений:

• Если Ь — 0, то ах2 + с = 0, л:2 = -£ ; хг 2 = = ± — . Когда а и с числа одного знака, решении нет.

• Если с = 0, то ах2 + Ьх = 0, х(ах + Ъ) = О,

Хл = 0, х2 = Если Ь = 0, с = 0, то ал:2 = 0, л: = 0.

Например: 4л:2 - 12 = 0, л:2 = 3, хг 2 = ± */3 ; 2л2 + 6 = 0, х2 = -3, корней нет; л:2 - Юл: = О,

Xj = 0, х2 — 10.

Полные квадратные уравнения — квадратные уравнения, у которых коэффициенты бис отличны от нуля.

Дискриминант квадратного уравнения — число D, равное (b2 - 4ас).

Решение полных квадратных уравнений:

• Если D > 0, то хЛ о = ~ ^ ± -/в #

Г 2а

• Если В = 0, то хЛ = х9 = .

2 а

• Если D < 0, то корней нет.

Например: Ьх2 - 7х + 2 = О, D = 49 - 40 = 9,

*1, 2 = » xi = 1» х2 = 0,4; 4х2 - 4х + 1 = 0,

D = 16 - 16 = 0, хх — х2 = 0,5; 4х2 + Зд: + 5 = 0, D — 9 - 80 = -71, корней нет.

• Если b — четное число, то j = (J)2 ~ ас;

При J > О, хг 2 = - 2 а ; ПРИ J = о, Xj = Х2 =

= ; при ^ < 0, корней нет.

TOC o "1-5" h z 2л а 4

Например: З*2 + 8л: — 3 = 0, — = 16 + 9 = 25,

4

V - _ - 4 ± 5 v ______ q _ 1

Л1, 2 g » Х1 О, х2

Приведенное квадратное уравнение — квадратное уравнение вида я2 + рх + q = 0, т. е. его первый коэффициент равен 1.

Например: х2 - 7х - 8 = 0.

Теорема Виета для квадратного уравнения:

• Если xv х2 — корни уравнения х2 + рх + q = О,

То хгх2 — q, х± + х2 — ~р.

• Если xv х2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с = О,

То хлх9 = - , хл + х9 — -- .

TOC o "1-5" h z 1 а 1 * а

Например: 5л:2 - 8л: - 4 = 0, хх = 2, л:2 = -0,4, XjjCg = 2 • (-0,4) = -0,8 = , х1 + х2 = 2 - 0,4 =

= 1,6= 8 ; х2 - 8х + 7 = 0, хг = 7, х2 = 1, ххл:2 =

= 7 • 1 = 7, л^ + л:2 = 7 + 1= 8.

Дробные (дробно-рациональные) уравнения

Уравнения, левая, правая или обе части которых являются дробными выражениями.

Например: —— = —, х + - =2.

1 X О X X

Решение дробно-рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, и путем тождественных преобразований записать

В виде = 0. q(x)

2. Решить уравнение р(х) = 0.

3. Если корни уравнения р(х) = 0 не обращают в нуль выражение q(x), то они являются корнями искомого уравнения.

Например: -5* = 3, +15 = о,

Зх - 5 Зх - 5

Ц-~ = 0, 15 - 4х = 0, х = 7,25, 3 • 7,25 -5*0,

О X — О

Х = 7,25 — решение уравнения.

Иррациональные уравнения — уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Например: Jx2 - 6 =17, 3Jx3 - 1 = О, 3 + Jx = 5х.

Решение иррациональных уравнений:

• Если Vf(x) = а , где п — четное, то при а > 0, /(х) = ап; при а < 0, решений нет.

• Если nJf(x) = а, где я — нечетное, то f(x) = ал. Например: л/бП^х2 = 1, 5 - х2 = 1, х2 = 4,

! 2 = ±2; 37х - 2 = 4, х - 2 = 64, х = 66.

Если nJf(x) = nJg(x), я — четное, то

/(х) = £(*), [ /(*) = £(*),

Или <

Ял:) > 0, §(х) > 0.

Из двух систем выбирают ту, что проще ре шается.

• Если nJf(x) = nJg(x), где п — нечетное, то fix) = g(x).

1 - х = х + 3,

Например: J2-х = «/х + 3 , <

Х = -0,5,

2 - 0,5 > 0.

Показательные уравнения — уравнения, в которых переменная входит только в показатели степеней при постоянных основаниях.

Например: 2х = 8, 3х ~ 2 = 7.

Решение показательных уравнений’.

• Если в уравнении ах = Ь, где а > 0, а Ф 1, b > 0, то х = loga Ъ или, заменив b на ас, далее

Записать ах = ас, х — с. Например: 2х = 8, х = = log2 8, х = 3.

• Если а* = Ь, где b < 0, то корней нет.

• Если дЛ*) = а8^х то f(x) = g(*).

• Если переменная содержится только в выражении ах, то уравнение решается методом замены переменной. Например: 32х + 5 • 3* - б = 0, 3х = у, у2 + Ъу - 6 = 0, yl = 1, у2 = -6, 3х = 1,

Х = 0, 3* = -6, корней нет.

Логарифмические уравнения — уравнения, в которых переменная находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Например: 31og2 х + 1 = 10, 51ogx 3 + logx 2 = 17.

Решение логарифмических уравнений:

• Если loga х = Ьу где а > 0, а Ф 1, то х — аь.

• Если loga f(x) = loga g(x), то f(x) = g(x), где g(x) > 0 и f(x) > 0. Например: log2 (2x + 3) = = log2 (x - 7), 2x + 3 = x - 7, x — -10, -10 - 7 < 0, корней нет.

• Если переменная содержится только в выражении loga х, то уравнение решается методом

Замены переменной.

Графический способ решения уравнения вида f(x) = g(x):

1. Записать уравнение в удобном для построения графиков виде f(x) = g(x).

2. Построить графики функций у — f(x) и У = g{x) в одной системе координат.

Если существуют точки пересечения графиков, то абсциссы этих точек и будут корнями данного уравнения.

Если точек пересечения нет, то уравнение не имеет корней.

Например: х3 - 0,5л: - 0,5 = 0, у = х3, у = = 0,5л; + 0,5, х = 1, корень уравнения (рис. 1).




See also: