Тригонометрические выражения

Градус — единица измерения углов, равная развернутого угла.



Радиан — единица измерения углов, равная величине центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Единичная окружность — окружность с радиусом, равным единице, и центром, расположенным в начале координат, т. е. в точке с координатами (0; 0).

Связь между радианным и градусным измерением углов:

• В единичной окружности центральный угол 360° равен 2п радиан, т. е. 360° = 2л (углы в радианах пишут без единиц измерения).

Для того чтобы перевести величину угла из гра

П

180

Сочинение по тригонаметрие

Дусов в радианы, надо умножить ее на дробь

 

Я _ 2 71 180° 3

 

Например: а = 120°, ос = 120'

 

Для того чтобы перевести величину угла из ра-

180°

Диан в градусы надо умножить ее на дробь

П

180

П

Сочинение по тригонометрии

= 135°.

Сочинение по тригонаметриеНапример: а = — , а = —

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

SinA=- (рис. 14).

С

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Cos А = - (см. рис. 14).

С

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Tg А - ^ (см. рис. 14).

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к противолежащему:

Ctg А = - (см. рис. 14).

Начальный радиус — радиус единичной окружности с центром в точке с координатами (0; 0), направленный по оси Ох.

Углы поворота:

• Положительный угол поворота образуется при повороте начального радиуса против часовой стрелки (см. рис. 15).

• Отрицательный угол поворота образуется при повороте начального радиуса по часовой стрелке (см. рис. 15).

• Угол, равный нулю, об

Разуется в точке пересечения начального радиуса и единичной окружности. Рис. 15

Синус произвольного угла ос, отложенного на единичной окружности от начального радиуса, — ордината точки окружности, соответствующей данному углу, т. е. sin ос = у (рис. 16).

Косинус произвольного угла а, отложенного на единичной окружности от начального радиуса, — абсцисса точки окружности, соответствующей данному углу, т. е. cos а = х (см. рис. 16).

Тангенс произвольного угла а, отложенного от начального радиуса, — отношение ординаты точки окружности, соответствующей данному углу к абсциссе

Этой точки, т. е. tg а = ^

Котангенс произвольного угла а, отложенного от начального радиуса, — отношение абсциссы точки окружности, соответствующей данному углу к ординате

Этой точки, т. е. ctg а = -

Функции sin a, cos а, tg а, ctg а зависят от угла а, и для каждого допустимого значения ос существует единственное значение sin a, cos а, tg а, ctg а, значит, их можно считать функциями от угла а. Общее название этих функций — тригонометрические.

Некоторые значения тригонометрических функций:

• sin 30° = sin 5 = 7i = cos з = cos 60°;

TOC o "1-5" h z 6 Z О

• sin 45° = sin 5 = & = cos 5 = cos 45°;

4 2 4

• sin 60° = sin 5 = ^ = cos 5 = cos 30°;

O Z D

• tg 30° = tg 5 = = Ctg 5 = ctg 60°;

• tg 45° = tg - л = 1 = ctg - = ctg 45°;

2 4

• tg 60° = tg | = 7з = ctg 5 = Ctg 30°.

Основные тригонометрические тождества:

• sin2 a + cos2 a = 1; • tg a ctg a = 1;

. tga=“”«; • ctga=^;

Cos a sin a

Четность и нечетность тригонометрических функций:

• cos(-[4]Сочинение по тригонаметрие = cos х — четная функция;

• sin(-x) = - sin х, tg (-х) = - tg ху ctg (-*) =

= - ctg x — нечетные функции.

Периодичность тригонометрических функций (k е Z):

• sin (ос + 2nk) = sin а; • tg (ос + nk) = tg а;

• cos (а + 2nk) = cos а; • ctg (а + nk) = ctg а.

Например: sin ^ = sin ^; tg — = tg -.

Знаки значений тригонометрических функций в различных четвертях показаны на рис. 17.

Формулы приведения — формулы, с помощью которых тригонометрические функции углов вида: - ± ос,

П ± ос, — ± а, 2тг ± а могут быть выражены через

Zn Функции угла а.

Правило для записи формул приведения:

1. Знак в правой части формулы ставят тот же,

Который имеет левая часть, с учетом 0 < а < - .

2. Если в левой части формулы угол равен

ТГ О ГГТ

± а или — ± а, то в правой части пишут cos,

Си

Если слева был sin и пишут ctg, если слева был tg и наоборот; если же в левой части формулы угол равняется л ± а и 271 ± а, то замены функции не происходит.

Например: sin (л + а) = - sin а; cos (^ + а = sin а; tg + аJ = - ctg а; ctg (2л - а) = - ctg а;

Формулы сложения:

• TOC o "1-5" h z cos (а + (3) = cos а cos (3 ± sin а sin (3;

• sin (а ± (3) = sin а cos |3 ± cos а sin (3;

. Tg(a ± 6) = **_а ± tg Р.

1 + tg atg Р

Например: cos = cos Г ^ ~ т ) = cos 5 х

Х cos - + sin - sin 5 = Л + = A + S.

Формулы двойного угла:

• sin 2a = 2sin a cos a;

• cos 2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a =

= 2cos2 a - 1;

. tg 2a = 2tg? . .

1 -tg2 a

Например: sin £ = sin (2 • J ) = 2sin 5 cos 5

2 ^ 6' 66

Формулы суммы, разности синусов и косинусов:

• sin a + sin (3 = 2sin cos ;

Sin a - sin |3 = 2sin £ cos ;

La Z

• cos а + cos (3 = 2eos cos ^ ;

Z z

• cos a - cos (3 = 2sin sin.

Например, cos $ + cos £ = 2cos 5 cos ~ .

Тригонометрические функции и их графики

Функция у = sin х, график — синусоида (рис. 18).

Функция у = cos х, график — косинусоида (синусоида, сдвинутая на величину 5 влево] (рис. 19).

4U '

Функция у = tg х, график — тангенсоида (рис. 20). Функция у = ctg х, график — тангенсоида, перенесенная на | вправо и симметрично отраженная относительно оси Ох (рис. 21).

Тригонометрические уравнения

Арксинус числа a (arcsin а) — угол а, который принадлежит отрезку £-5 ; 5 J, синус которого равен числу а, т. е. arcsin а — a, sin а = а, где а е [-1; 1],

А е

Л.

"ГГ %

Я

. 2

2 .

Например: arcsin

Арккосинус числа a (arccos а) — угол а, который принадлежит отрезку [0; ти], косинус которого равен числу а, т. е. arccos а — a, cos а = а, где а е[-1; 1], а е [0; я].

Например: arccos 1 = 0.

Арктангенс числа A (arctg а) — угол а, который

Принадлежит отрезку (-5 ; 5 ), тангенс которого равен

^ CJ А '

Числу а, т. е. arctg а = a, tg а = а, где а е (-°°; °°);

Например: arctg (-1) =

Арккотангенс числа a (arcctg а) — угол а, который принадлежит отрезку (0; я), котангенс которого равен числу а, т. е. arcctg а = a, ctg а = а, где а g (—°о; °о), а G (0; п).

Например: arcctg 1 = - 4

Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие тригонометрические функции неизвестного аргумента.

Решение тригонометрических уравнений:

• Если sin х — а, ае [-1; 1], то х — (-1)[5] arcsin а + + nk, k g Z Если |a| > 1, решений нет.

• Если cos х = а, а е [-1; 1], то х = ±arccos а + + 2nk, k g Z Если |а| > 1, решений нет.

• Если tg х — a, a G R, то х — arctg а + nk, k е Z;

• Если ctg х = а, а е R, то х = arcctg а + nk, k G Z.




See also: