Система двух уравнений с двумя переменными -

f(x; у) = 0; система, которую можно записать в виде {



G(х; у) = 0.

Например:

Решение системы уравнений с двумя переменнымиХ2 + у2 = 7, X - у = 2, х - у = 10; х + у = 6.

Способы решения систем уравнений:

• Способ подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений.

2. Подставить это выражение в другое уравнение системы. В результате получают уравнение с одной переменной.

3. В уравнении с одной переменной найти корень.

4. Подставив найденный корень, получить значение другой переменной.

5. Записать ответ.

Например:

2х - у = 2,

Решение системы уравнений с двумя переменнымиУ = 2х - 2,

2х2 - ху = 6; 1 2х2 - х(2х - 2) = 6;

W

У = 2х - 2,

Решение системы уравнений с двумя переменнымиУ = 2х - 2, у = 4,

Х — 3;

Решение системы уравнений с двумя переменными

Х = 3.

Решение системы уравнений с двумя переменными2х2 - 2х2 + 2х = 6;

• Способ сложения:

1. Почленно сложить уравнения системы, предварительно умножив их на некоторые множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

2. Найти корень полученного уравнения с одной переменной.

3. Подставить найденное значение в любое уравнение системы и вычислить соответствующее значение другой переменной.

4. Записать ответ.

-Зх + 3iу = -6, Зх - у2 = 6;

Решение системы уравнений с двумя переменнымиНапример:

Х - у = 2,

Зх - у2 = 6;

У2 + Зу = 0, у( 3 — г/) = О,

Х = у + 2;

У = о,

= 2;

 

Х = у + 2;

У 2 = 3’

 

• Графический способ:

1. Построить графики обоих уравнений.

2. Найти координаты точек пересечения этих графиков, которые и являются решением системы.

3. Записать ответ.

У — х

Например:

У — - х + 2.

Ответ: (-2; 4), (1; 1) (рис. 2).

Неравенства

Неравенство — два числа или два выражения (числовые или буквенные), соединенные одним из знаков: > (больше), < (меньше), > (больше или равно), (меньше или равно).

Например: 2х +1 > 3; Зх2 - х + 4 < 0.

Свойства неравенств:

• Если слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак, то получится равносильное неравенство.

• Если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.

• Если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное неравенство.

Линейное неравенство с одной переменной — неравенство вида ах > Ъ, ах < Ь, ах > Ь, ах < Ъ.

Решение линейного неравенства:

• Если ах > Ъ и а > 0, то х > -

А

Например: 5 - 2х < 1 - (х - 2), 5 - 2х < 3 - х, х > 2.

Неравенство второй степени с одной переменной — неравенство вида ах2 + Ьх + с > 0, ах2 +

+ Ьх + с < 0, ах2 + Ьх + с > 0, ах2 + Ьх + с < О (а Ф 0).

Решение неравенства второй степени:

• Нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает отрицательные или положительные значения:

1. Найти дискриминант квадратного трехчлена D = Ь2 - 4ас и выяснить, имеет ли этот трехчлен корни.

2. Если корней нет, то схематически изобразить параболу (при а > 0 она лежит в верхней полуплоскости, а ее ветви направлены вверх; при а < 0 — в нижней полуплоскости, а ее ветви направлены вниз).

3. Если корни трехчлена существуют, то отметить их на оси абсцисс и через отмеченные точки схематически провести параболу, у которой ветви направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0.

4. Найти промежутки оси абсцисс, на которых точки параболы расположены выше этой

Оси (при решении неравенства ах2 + Ьх + с > 0) или ниже этой оси (при решении неравенства

Ах2 + Ьх + с < 0).

Например: Зх2 - 2х - 1 < 0, Зх2 — 2л: — 1=0, f =1 + 3 = 4, = 1, *2 = 1=J = - I,

А > 0 ветви вверх, < х < 1. Ответ: л: G (-1; 1 (рис. 3).

• Метод интервалов (с помощью этого метода решают неравенства вида

(х - хг)(х - х2)...(х - хп) > О

Или

(х - хг)(х - х2)...(х - хп) < О,

Где xv х2, ..., хп — неравные друг другу числа):

1. Отметить на координатной прямой нули функции — числа xv х2, ..., хп.

2. Определить знак функции на промежутках между этими точками.

3. В зависимости от знака неравенства выписать промежутки, являющиеся его решениями.

Например,

-х2 - х + 12 > 0, х2 + я - 12 = 0, хг = -4, х2 = 3. Ответ: х е [-4; 3] (рис. 4).

(х - 3)(х + 5)(х - 1) < 0, нули функции хх = 3, х2 = -5, х3 = 1. Ответ: х е (-°°; -5) u (1; 3) (рис. 5).

Показательные неравенства — неравенства, в которых переменная входит только в показатели степеней при постоянных основаниях.

Например: 3* - 4 < 3* + 2 + 7.

Решение показательных неравенств:

• Если а* > Ъ и а > 0, а Ф 1, то при b < 0 х е R.

• Если ах < b и а > 0, аФ 1, то при Ъ < О реше-

U

Например: 0,52х 3 > 0,5* + 1, 2х - 3 < х + 1, х < 4.

• При решении показательных неравенств можно применять различные методы решения показательных уравнений: разложение на множители, замена переменных и т. д.

Логарифмические неравенства — неравенства, в которых переменная находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Например: log3 х > 2 - log3 х3; lg х > 4.

Решение логарифмических неравенств:

• Если loga f(x) > loga £(х) и a > 1, то f(x) >

> g{x) > 0.

• Если loga f(x) > loga g(x) и 0 < a < 1, to g(x) > f(x) > 0.

Например: log4 (5x + 2) > 3,

Log4 (5x + 2) > log4 64, f 5x + 2 > 64,

«

5x + 2 > 0; 5x + 2 > 0;

5x + 2 > 64, x > 12,4.

При решении логарифмических неравенств можно применять различные методы решения логарифмических уравнений.




See also: