Производная

Производные некоторых элементарных функций:



• (С)' — 0, где С — постоянная величина (число);

• (хУ =1; • (ха)' = аха ~ г;

• (sin х)' = cos х; • (cos х)' = - sin я;

• TOC o "1-5" h z (tg X)' - —— ; • (ctg х)' = - ,

Cos* х sin2 л:

• (е*У я ех • (ах)' = ах In а;

• (In х)' • (log х)' = —L_ .

а xlna

Например: Дх) = х5, f'(x) = 5х4; Дх) = 3х, f{x) = Зх1п 3; Дх) = 5, fix) = 0; Дх) = lg х,

Fix) = —Дтр: .

Дс1п 10

Правила вычисления производных:

Обозначим через и и v значения функций в точке х0, а через и' и и' значения производных

Этих функций в точке х0.

(и + v)' = и' + и';

(uvУ = u'v + v'u;

VJ v2

{Си)' = Си', где С = const.

Например: Дх) = 5sin х + х31п х,

Дх) = (5sin х)' + (х3)' • In х + х3 • (In х)'

= 5cos х + Зх2 In х + х2;

Дх) = х2 f'(x) = 2х sin х - х2 cos х sin х ’ sin2 х

_ 2х - x2ctg х sin x

Сложная функция — функция, аргументом которой является другая функция, именуемая промежуточным аргументом.

Например: fix) = cos х — элементарная

Функция, a fix) = cos3 х — сложная функция, где cos х — промежуточный аргумент.

Производная сложной функции — произведение производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной. Производная сложной функции записывается формулой fg(x)) = fg) g'(x).

Например: (cos Зх)' = ~sin Зх (Зх)' = -3sin Зх. Применение производной

Признаки возрастания (убывания) функции:

• Достаточный признак возрастания функции состоит в том, что функция fix) возрастает на некотором промежутке, если производная функции /'(х) на этом промежутке положительна, т. е. f(x) возрастает, при fx) > 0.

• Достаточный признак убывания функции состоит в том, что функция fix) убывает на некотором промежутке, если производная функции f{x) на этом промежутке отрицательна, т. е. fix) убывает, при f (х) < 0.

Критические точки функции — внутренние точки области определения функции, в которых ее производная не существует или равна нулю.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции:

• Необходимое условие экстремума состоит в том, что если д;0 является точкой экстремума

Функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции, т. е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует.

• Достаточное условие экстремума функции состоит в том, что если функция f(x) непрерывна в точке. г0 и производная f'(x) меняет знак в

Этой точке, то х0 — точка экстремума функции

F(x); если f'(x) > 0 при х < х0 и fx) < 0 при х >

> л:0, то х0 — точка максимума; если f'(x) < О

При X < х0 и fx) > 0 при х > Xq, то Xq — точка

Минимума.

Например: f{x) = 1 х3 - 9х, fx) = х2 - 9, х2 -

О

- 9 = 0, хх 2 = ±3 .В точках -3 и 3 fx) = 0 и

F'(x) меняет знак, значит -3 и 3 — точки экстремума. Причем хтях = -3, xmin = 3.

Первообразная

Первообразная для функции f(x) на данном промежутке — такая функция F(x), что для любого х из этого промежутка выполняется равенство Fx) = f(x).

Например, F(x) = 4л:5 — первообразная для f(x) = 20л:4.

Основное свойство первообразных:

• Если F(x) — первообразная функции f(x), то и функция F(x) + С, где С — произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

• Геометрическая интерпретация основного свойства первообразных состоит в том, что графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Первообразные для некоторых функций: f(x) - 0, F(x) = С; fix) = k, F(x) = kx + С;

Fix) = xa (а ф -1), F(x) = + C;

A +1

/(л:) = - , F(x) = In |x| + C;

L

Fix) = x 2 = A, F(jc) = 2j~x + C;

Jx

F{x) = e*, Дл:) = + С;

/(л:) = a* (a > 0, a * 1), F{x) = + C;

In a

Ял:) = sin л:, F(jr) = - cos л: + C;

F{x) =

Fix) =

подпись: f{x) =
fix) =
Cos jF(;r) = sin x + C; —L - , Fix) = tg x + C;

COSz X

Fix) =

подпись: fix) =

Sin2 x

подпись: sin2 x, Fix) = -ctg x + C.

Например: fix) = *5, F(x) = ?- + С; Я*) = 3X,

Правила нахождения первообразных:

• Если F(.r) есть первообразная для функции Я*), a G(*) — первообразная для функции £(*), то jF(;r) + G(x) есть первообразная для fix) + g(x).

• Если Fix) есть первообразная для функции fix), a k — постоянная, то kFix) есть первообразная для функции kfix).

• Если Fix) есть первообразная для функции fix),

Aknb — постоянные, причем k Ф 0, то - Fikx + b)

Есть первообразная для функции fikx + b).

Например, для fix) = х3 - cos х первообразной является функция = — - sin х + С.

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной функции у = fix) на отрезке [а; Ъ] (причем функция не меняет знак для всех

Х е [а; ft]), двумя вертикальными прямыми х = а и х = Ъ, а также осью Ох.

Теорема для вычисления площади криволинейной трапеции: если f(x) — неотрицательная, непрерывная функция на отрезке [a; b a F(x) — ее первообразная на данном отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна разности первообразных конца и начала отрезка: S = F{b) - F(a).




See also: