Числа

Цифры — знаки для записи чисел.



В десятичной системе счисления используют цифры: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Всего 10 цифр.

Натуральные числа N — числа, которые используют при счете предметов.

Например: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 и т. д.

Целые числа Z — натуральные числа, противоположные им, и нуль.

Например: -100, -5, -1, 0, 2, 18 и т. д. Рациональные числа Q — числа, которые можно

Записать в виде ^, где т — целое, а п — натуральное,

Или в виде конечной либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Например: -5 = 0,(3).

1 5 5 3

Иррациональные числа — числа, которые можно записать приближенно с помощью бесконечной непериодической десятичной дроби.

Например: л/2 = 1,4142; тс = 3,14.

Действительные числа R — рациональные и иррациональные числа.

Действия над числами и их свойства

Сложение, а + b = с, где а — слагаемое, b — слагаемое, с — сумма: a = c-b, b = c-a.

Вычитание, а - Ъ = с, где а — уменьшаемое, b — вычитаемое, с — разность: а = b + с, b — а - с.

Умножение, ab = с, где а — множитель, Ъ — множитель, с — произведение:

А=с - (Ъ Ф 0), b = £ (а Ф 0).

О и

Деление. - = с (Ь ф 0) или а : b = с, где а — де-

Ъ

Лимое, Ъ — делитель, с — частное:

А = be, b = - (а Ф 0).

С

Степень. аь = с, где а — основание степени, b — показатель степени, с — степень:

А = bJc, Ъ = loga с (а Ф 1, a > 0, с > 0).

Корень. bJa = с, где а — подкоренное выражение, b — показатель корня, с — корень:

А = cby b = logc а (с Ф 1, с > 0, а > 0).

Логарифм. loga b = с, где а — основание логарифма, b — выражение под знаком логарифма, с — логарифм:

Ъ — ас, а = cJb (а Ф 1, а > О, b > 0).

Свойства сложения и умножения:

• а + b = b + a, ab = Ьа — переместительное свойство;

• а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, а(Ьс) = (ab)c — сочетательное свойство;

• а(Ь + с) = ab + ас — распределительное свойство;

• а + 0 = а;а-0 = а;а-а = 0;а-0 = 0;

А • 1 = а; - = О, а [3] 0; ^ — решений нет; - = 1,

А 0 а

А Ф 0; ^ = а.

Свойства корней:

. »/а™ = nkJa™* • {nJa)m = nJarn

(a > 0); (a > 0);

• n/fja = nmJa (a > 0).

Свойства логарифмов:

• alog‘b =b(b>0, a>0, a * 1);

• ioga a = 1; • loga 1 = 0;

• loga x + loga i/ - loga xy;

• loga * - loga у = loga ^ ;

• ploga л: = loga д^; • logflm xn = £ loga

Ffv

• loga b = ; • loga b = —^

A logc a a lo gba

Обыкновенные дроби и действия над ними

Обыкновенная дробь — рациональное число (положительное или отрицательное), модуль которого записывают в виде —, где т и п — натуральные числа, п причем т называют числителем дроби, ап — знаменателем.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Например: | = §_| = А ; 20 = 20j_5 = 4

7 7-2 14 25 25 : 5 5

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы.

Например: li = 1 (делитель равен 14);

28 2 (делитель равен 6).

Сложение, вычитание и сравнение дробей с одинаковым знаменателем — соответственно сложение, вычитание и сравнение числителей этих дробей, знаменатель остается без изменения.

Если в ответе получается сократимая дробь, то ее надо сократить, а если дробь неправильная, то следует выделить целую часть.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) данных дробей — это будет НОК всех знаменателей.

2. Разделить НОЗ на знаменатели данных дробей и полученные числа (дополнительные множители) умножить на числители соответствующих дробей.

3. Получим дроби с одинаковым знаменателем, равным НОЗ.

Пример. Привести к общему знаменателю

TOC o "1-5" h z

Дроби 6- 8’ 14-

Решение: НОК(6, 8, 14)= 168, | = 5-1? =

О loo

_ 140 3 = 3 -21 63 1 = 1 12 = 12

168 ’ 8 168 168 ’ 14 168 168 '

Сложение, вычитание и сравнение дробей с разными знаменателями:

1. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

2. Соответственно сложить, вычесть или сравнить полученные дроби как дроби с одинаковым знаменателем.

Например: £ + £- «+ §* - “.где НОЗ (14, 12) = 84.

Сложение смешанных чисел:

1. Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.

2. Сложить соответственно целые и дробные части.

3. Если дробная часть получилась в виде неправильной дроби, то из нее надо выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части.

Например: 2i + з! =2? +3§ = б|; ю| + + 4§ = lOi - + 4?2 = 14?? - 14 + lA = 1бА.

6 24 24 24 24 24

Вычитание смешанных чисел:

1. Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.

2. Превратить дробную часть уменьшаемого, если она меньше дробной части вычитаемого в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть.

3. Вычесть соответственно из целой части целую часть, из дробной — дробную.

Умножение дробей:

1. Над дробной чертой записать произведение числителей, не перемножая их, а под дробной чертой — произведение знаменателей данных дробей.

2. Сократить полученную дробь.

3. Перемножить оставшиеся множители соответственно в числителе и знаменателе.

Тт 834 8-3-4 2 2

Например: _•_•_ = -------- = —- = — .

15 16 9 15-16-9 5-9 45

Перевод смешанного числа в неправильную дробь состоит в том, что числитель неправильной дроби получают умножением целой части на знаменатель дробной части и прибавлением числителя дробной части, а знаменатель неправильной дроби оставляют равным знаменателю дробной части смешанного числа.

Например: 3- = 3 д + 8 = ^ .

9 9 9

Умножение смешанных чисел:

1. Записать смешанные числа в виде неправильных дробей.

2. Перемножить полученные дроби по правилу умножения дробей.

3. Если в ответе получится неправильная дробь, то надо выделить из нее целую часть.

TOC o "1-5" h z 0 4 к 3 18 28 18-28

Например: 2- • 5^ = -~ ■ = - „ ■ =

7 5 7 5 7-5 = 18 4 = 72 = л л 2 5 Т 5 *

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно 1.

Например: £ • « = fllf = 1.

Деление дробей:

Умножить делимое на число, обратное делителю. Например: - : — = - • — = - .

8 TOC o "1-5" h z 16 8 15 3

Пропорция — равенство двух отношений а : b = = с : d или у = -, где ни одно из чисел, составляющих

Пропорцию, не равно нулю. Здесь бис- средние члены пропорции, а и d крайние члены пропорции.

Например: | ^; 5 : 8 = 10 : 16.

О 2л 1

Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции.

Например: ^ = Щ., 6 • 9 = 27 • 2, 54 = 54.

U У

Десятичные дроби и действия над ними

Десятичная дробь — дробь со знаменателем в виде числа, равного натуральной степени десяти.

Десятичная дробь записывается рядом цифр в одну строку, отделяя запятой справа столькоцифр, какова степень 10. Например: 100

3-W =37’56; 573Ш0 = 573^з = 573,014.

Бесконечная десятичная дробь — дробь, у которой в дробной части бесконечное множество цифр.

Периодическая бесконечная дробь — дробь,

Ряд цифр которой постоянно повторяется. Например: 2,838383... = 2,(83) — периодическая дробь; 57,072351748 — непериодическая дробь.

Сложение и вычитание десятичных дробей:

1. Уравнять количество цифр после запятой во всех десятичных дробях, участвующих в вычислении, приписывая нули.

2. Сложить или вычесть получившиеся дроби по разрядам.

Например: 5,08 - 3,125 = 5,080 - 3,125 = = 1,955.

Умножение десятичных дробей:

1. Перемножить две десятичные дроби, как целые числа, не обращая внимания на запятые.

2. В полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Деление десятичных дробей на целые числа производят так же, как деление целых чисел, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части.

Деление десятичных дробей на десятичную дробь:

1. Перенести вправо запятую в делимом и делителе на столько цифр, сколько их имеется в дробной части делителя.

2. Разделить получившиеся числа, т. е. деление будет выполняться на целое число.

Округление десятичных дробей состоит в том, что в данном числе оставляют необходимое количество цифр после запятой или в целой части. Все цифры, находящиеся правее в дробной части отбрасываются, а в целой части заменяются нулями. Крайнюю правую значащую цифру оставляют без изменения, если после нее была одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4; или к ней прибавляют единицу, если после нее была одна из цифр: 5, 6, 7, 8, 9. Например: 2,5679 = 2,6; 543,18 = 540; 0,0081 = 0,008.

Процент — специальное название дроби 0,01, которая является сотой частью какого-либо числа.

Обозначается знаком %. Например: 23% = = 0,23; 116% = 1,16.

Чтобы найти процент от какого-либо числа, надо перевести количество процентов в дробь и умножить на данное число. Например: 25% от 60. 25% = 0,25, 0,25 • 60 = 15.

Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, надо разделить первое число на второе. Количество сотых долей покажет сколько получилось процентов.

Пример. Найти, сколько процентов составляет число 8 от 40.

Решение: 8: 40 = 0,2 = 0,20 = 20%.

Чтобы найти, от какого числа получен данный процент, надо число, составляющее этот процент, разделить на количество процентов, переведенных в дробь.

Пример. Найти число, от которого б составляет 30%.

Решение: 30% = 0,3, 6 : 0,3 = 20.

Стандартный вид числа — запись числа в виде а • 10п, где 1 < а < 10, п — целое число.

Например: 5618,8 = 5,6188 • 103; 0,00097 = = 9,7 • 10“4.

Положительные и отрицательные числа, действия над ними

Модуль (абсолютная величина) действительного числа х — само это число, если х > 0, и противоположное число - х, если х < 0.

Обозначается:

Х, если > 0;

Х = <

[ - х, если х < 0.

Например: |5| = 5, так как 5 > 0; |0| = 0, так как 0 = 0; |-7| = -7, так как -7 < 0.

Геометрический смысл модуля — расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, обозначающей соответствующее число. Данное расстояние измеряется в единичных отрезках.

Положительные числа — действительные числа, которые больше нуля.

Например: +4,25; 3; 0,5; Jl; п.

Отрицательные числа — действительные числа, которые меньше нуля.

Например: -7; - б|; - lg 5; -8,3.

Противоположные числа — числа, равные по модулю, но различные по знаку.

Например: 2 и -2; Jb и - Jb ; 17,8 и -17,8.

Сложение чисел с одинаковыми знаками состоит в том, что знак суммы оставляют без изменения, а модуль суммы равен сумме модулей

2 1

Слагаемых. Например: 5 + 7,3 = 12,3; -1- - 3- = = -4- ; -18 - 10 = -28

Сложение чисел с разными знаками состоит в том, что знак суммы ставят от большего модуля, затем вычитают из большего модуля меньший.

Например: -10 + 3 = -(10 - 3) = -7; 6,9 - 8 — (8 - 6,9) = -1,1; -2 + 15 = 15 - 2| = 121.

Вычитание отрицательного числа состоит в том, что данное вычитание заменяют сложением с противоположным числом. Например: 16 - (-3) = 16 + 3 = 19; -14,5 - (-2,7) = -14,5 + + 2,7 = -11,8.

Умножение и деление чисел с одинаковыми знаками состоит в том, что значение данного выражения имеет знак «плюс», а его модуль получают соответственно умножением или делением модулей. Например: -3 • (-6) = 18; 6,4 : 8 =

Умножение и деление чисел с разными знаками состоит в том, что значение данного выражения имеет знак минус, а его модуль получают

Соответственно умножением или делением. Например: 2 • (-4) = -8; -3,5 • 7 = -24,5; - Jl • 5 =

= -577.




See also: